| 数学基本不等式的应用与常见错误评析 |
基本不等式及应用是高中阶段一个重要的知识点；其方法灵活，应用广范。在学习过程中要求学生对公式的条件、形式、结论等要熟练掌握，才能灵活运用。 一、基本不等式： 1．a,b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b等号成立， 2．a,b∈R+，a+b≥2■，当且仅当a=b等号成立。 二、问题1：设ab﹤0,则:■+■的取值范围是（ ） （A）（-∞ -2 ] （B）（-∞ 2] （C）[-2 +∞） （D）[2 +∞） 解题辨析： 常见错误解法：因为■与■的积为定值，其和有最小值， 即■+■≥2所以选择答案（D）。此解法是错的，是因为■﹤0 ■﹤0并不满足不等式：a+b≥2■中字母的条件； 正确方法是：因ab﹤0，所以（-■）＞0，（-■）＞0 （-■）+（-■）≥2，即■+■≤-2，正确答案是（A） 问题2：已知x是正实数，求函数y=x2+■的最小值？ 解题辨析： 常见错误解法：因x是正实数，y=x2+■≥2■,所以y=x2+■的最小值是2■，当且仅当x2=■，即x=■时，等号成立；此解法错误的原因是x2与■的积 2■并不是定值。 正确结论：对于两个正数a与b， 当和为定值，当且仅当a=b时，其积有最大值； 当积为定值，当且仅当a=b时，其和有最小值。 正确方法是：因x是正实数，y=x2+■=x2+■+■ ≥3·■=3, 当且仅当：x2=■等号成立，即x=1时，y=x2+■的最小值是3 问题3：已知x,y都是正实数，且x+4y=1，求：■+■的最小值？ 解题辨析： 常见错误解法：因为x,y都是正实数1=x+4y≥2■ 即1≥4■＞0，■+■≥ 2■＞0，两式相乘得■+■≥8 所以■+■的最小值是8，此解法错误的原因是不等式x+4y≥2■取等号的条件是x=4y，而不等式■+■≥2■取等号的条件是x=y，而这两个条件不可能同时成立，因此■+■≥8中的等号不成立。 正确方法是：x,y都是正实数，且x+4y=1，所以■+■=（■+■）·（x+4y）=1+4+（■+■）≥5+ 2■=9，当且仅当■=■等号成立， 即当且仅当x=■，y=■时，■+■取得最小值是9 问题4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的最大值？ 解题辨析： 常见错误解法： xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3 即：xm+yn的最大值为3 此解法错误的原因是当xm+yn取得最大值3时，x=m，y=n要同时成立，即有x2+y2=m2+n2，而这是不可能的。 正确解法：因为x2+y2=2,m2+n2=4，两式相乘 8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn 8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2■ 即当且仅当xn=ym时，xm+yn取最大值为2■ 总之，基本不等式解决问题并不是万能的。学习过程中，要深刻理解基本不等式的内在实质，搞清其条件、公式、结论之间的辩证关系是关键。特别对于第二个基本不等式，我们常说“一正、二定、三等号”，其意义就在于此。 训练题 一、填空题： 1．已知x,y都是正实数，且■+■=1,则x+y最小值是_______， 当且仅当x=_______,y=_______, 2．已知：abc均为实数，且a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的最大值是________ 最小值是_________。 3．已知：a,b都是正实数，且a+b=1，则（a+■)2+(b+■)2的最小值是__________。 二、选择题： 1．已知：a,b都是正实数，且a+b=1，则■+■的最大值是（ ） （A）■（B）■（C）2■（D）3 2．已知实数a，b，c满足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,则实数c的范围是（ ） （A）R（B）[■ 2]（C）（■ 3）（D）[■ 3] 三、解答题： 1．已知矩形的面积与其周长相等，求其面积的最小值？ 2．⑴比较大小：㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67 ⑵根据上述结论作出推广，试写出一个有关于自然数n的不等式，并证明之。 答案： 一、 填空题： 1． x+y最小值是9， 当且仅当 x=6,y=3。 2． ab+bc+ca的最大值是1 , 最小值是-■。 3．（a+■)2+(b+■)2的最小值是■ , 二、 选择题： 1．（C）, 2．（D） 三、 解答题： 1．16 2．⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67 ⑵ ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要证明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。 华东模范中学 马兰军 |
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