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2007年12月3日 星期 放大 缩小 默认
“新民晚报-东方网大力神”超级高考巡回讲座精彩内容回放
解析几何中的类比与推广,你会吗?

刘文伟


  解析几何中有很多类型与方法类似的问题,在高三的复习中可以充分利用这一点,例如圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线,大多数同学对它们的学习都觉得不容易,如果能够注意学习过程中的类比与推广、延伸和拓展,则可起到事半功倍之效。举例如下:

  例1  (1)如图,抛物线C:y2=4x,直线L过点F(1,0),且L与C交于A、B两点,求

  |AB|的最小值,并确定此时直线L的倾斜角。 

  (2)将问题(1)在曲线仍为抛物线的情况下加以推广,得到一个更一般的命题,且问题(1)应该为所推广命题的一个特例,并加以证明。

  (3)将命题(2)的抛物线改为其他圆锥曲线,写出一个相应真命题,并证明。

  分析:三个问题的层次很明显,问题(1)是对于一个具体的抛物线求过一定点的弦长的最值问题,直接利用弦长公式和函数观点即可解决,但是要注意直线方程的表示,斜率的存在与否。问题(2)要求把问题(1)进行推广,而且应该推广为一个真命题,那么要求读者首先要能够解决问题(1),然后根据结论进行从特殊到一般的推广、猜测与证明。问题(3)是根据(2)中抛物线具有的性质,联想到椭圆和双曲线也可能具有类似的性质。

  解:(1)当AB与抛物线C的对称轴垂直时,|AB|=4

  当AB与抛物线C的对称轴不垂直时,设其方程为y=k(x-1),则由y■=4xy=k(x-1)得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)

  则|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

  =(1+k2)■-4=■,

  即|AB|=■>4,

  所以,当AB与抛物线C的对称轴垂直时,|AB|最小,最小值为4。

  (2)对于(1)中的抛物线y2=4x我们发现点F(1,0)恰好是它的焦点,现将命题推广如下:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点,则当AB与抛物线的对称轴垂直时,AB的长度最短。

  证明:设抛物线的方程是y2=2px,(p>0),焦点为F(■,0)

  当AB与抛物线的对称轴垂直时,|AB|=2p

  当AB与抛物线的对称轴不垂直时,设其方程为y=k(x-■)则由y■=2pxy=k(x-■)得k2x2-(2p+pk2)x+■p2k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)

  则|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

  =(1+k2)■-p2=■,

  即|AB|=■>2p,

  所以,当AB与抛物线C的对称轴垂直时,|AB|最小,最小值为2p。命题得证。

  (3)命题:过椭圆的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点,则当AB与椭圆的长轴垂直时,AB的长度最短。

  证明:设椭圆的标准方程是■+■=1,焦点为F(±c,0),

  当AB与椭圆的长轴垂直时,|AB|=■ 

  当AB与抛物线的长轴不垂直时,由对称性不妨设其方程为y=k(x-c),则由■+■=1y=k(x-c)得(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)

  则可以得到|AB|=■=■,因为b2-a2=-c2<0,所以,0<a2+■<a2,即|AB|>■。

  所以,过椭圆的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点,则当AB与椭圆的长轴垂直时,AB的长度最短。得证,对于双曲线能否得到类似的结论,请读者自己判断与证明。

  华东模范中学 高级教师  

  刘文伟


 
    

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