解析几何中有很多类型与方法类似的问题，在高三的复习中可以充分利用这一点，例如圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线，大多数同学对它们的学习都觉得不容易，如果能够注意学习过程中的类比与推广、延伸和拓展，则可起到事半功倍之效。举例如下：

　　例1  （1）如图，抛物线C：y2=4x，直线L过点F（1，0），且L与C交于A、B两点，求

　　|AB|的最小值，并确定此时直线L的倾斜角。 

　　（2）将问题（1）在曲线仍为抛物线的情况下加以推广，得到一个更一般的命题，且问题（1）应该为所推广命题的一个特例，并加以证明。

　　（3）将命题（2）的抛物线改为其他圆锥曲线，写出一个相应真命题，并证明。

　　分析：三个问题的层次很明显，问题（1）是对于一个具体的抛物线求过一定点的弦长的最值问题，直接利用弦长公式和函数观点即可解决，但是要注意直线方程的表示，斜率的存在与否。问题（2）要求把问题（1）进行推广，而且应该推广为一个真命题，那么要求读者首先要能够解决问题（1），然后根据结论进行从特殊到一般的推广、猜测与证明。问题（3）是根据（2）中抛物线具有的性质，联想到椭圆和双曲线也可能具有类似的性质。

　　解：（1）当AB与抛物线C的对称轴垂直时，|AB|=4

　　当AB与抛物线C的对称轴不垂直时，设其方程为y=k(x-1)，则由y■=4xy=k(x-1)得k2x2-(4+2k2)x+k2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)

　　则|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

　　=(1+k2)■-4=■，

　　即|AB|=■＞4，

　　所以，当AB与抛物线C的对称轴垂直时，|AB|最小，最小值为4。

　　（2）对于（1）中的抛物线y2=4x我们发现点F（1，0）恰好是它的焦点，现将命题推广如下：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短。

　　证明：设抛物线的方程是y２=2px,(p＞0)，焦点为F(■,0)

　　当AB与抛物线的对称轴垂直时，|AB|=2p

　　当AB与抛物线的对称轴不垂直时，设其方程为y=k(x-■)则由y■=2pxy=k(x-■)得k2x2-(2p+pk2)x+■p2k2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)

　　则|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

　　=(1+k2)■-p2=■，

　　即|AB|=■＞2p，

　　所以，当AB与抛物线C的对称轴垂直时，|AB|最小，最小值为2p。命题得证。

　　（3）命题：过椭圆的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与椭圆的长轴垂直时，AB的长度最短。

　　证明：设椭圆的标准方程是■+■=1，焦点为F(±c,0),

　　当AB与椭圆的长轴垂直时，|AB|=■ 

　　当AB与抛物线的长轴不垂直时，由对称性不妨设其方程为y=k(x-c)，则由■+■=1y=k(x-c)得(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)

　　则可以得到|AB|=■=■，因为b2-a2=-c2＜0，所以,0＜a2+■＜a2，即|AB|＞■。

　　所以，过椭圆的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与椭圆的长轴垂直时，AB的长度最短。得证，对于双曲线能否得到类似的结论，请读者自己判断与证明。

　　华东模范中学 高级教师  

　　刘文伟