上海新课程改革对学生数学能力提出了多方面的要求，其中包括对数学问题的研究能力，这些能力的培养必须通过平时训练慢慢提高。因此在平时学习过程中对一些有趣的、有内涵的数学问题从多角度进行深入思考，充分发挥题目的功能，促进研究能力的提高，使得收益最大化。

　　例题1直线l过抛物线y2=2px(p≠0)的焦点，且与抛物线相交于A (x1,y1)和B(x2,y2)两点。求证：y1y2=-p2。

　　这是一道常见的命题，许多同学证明好了就结束了。我们仔细想一想，这是一个多么有趣的结论啊，这条直线只要经过焦点，任意转动该直线，它与抛物线交点的纵坐标之积始终是一个定值，很值得我们回味、值得我们进一步探究。

　　思考1上述命题的逆命题成立吗？证明你的结论。

　　设直线l与抛物线y2=2px(p≠0)相交于A (x1,y1)和B(x2,y2)两点。并且y1y2=-p2。那么这条直线是否一定经过焦点？

　　分析 当直线垂直于x轴时，y1=-y2，由y1y2=-p2得y1=p，y2=-p，得出x1=x2=■，这时，直线经过焦点。当直线不垂直于x轴时，可以设直线方程为y=kx+b代入抛物线方程，利用根与系数的关系得出k与b的关系2b=-pk，在y=kx+b中，令y=0可以得出x=-■，从而得到直线恒过焦点，逆命题成立。

　　思考2在原命题中，如果直线l不是经过抛物线y2=2px(p≠0)的焦点，而是经过x轴上另外的一个定点P(x0,0)(x0＞0)，并且保证直线与抛物线有两个公共点，那么y1y2是否还是定值呢？

　　下面，我们用同一方法研究这一命题。

　　当直线垂直于x轴时，x1=x2=x0，显然y1y2=-2px0为定值；当直线不垂直于x轴时，可以设直线方程为y=k(x-x0)，代入抛物线方程得出ky2-2py-2pkx0=0，从而y1y2=-2px0（定值）。说明该命题也是真命题。

　　上述思考2，可以构造成这样的研究性问题：

　　对照命题（1），给出一个更一般性的命题，使命题（1）是该命题的特例，并对该命题的真假加以研究。

　　思考3思考2中命题的逆命题成立吗？证明你的结论。

　　从上述探讨的过程来看，可能是成立的，读者不妨试一试。

　　还可以做进一步的思考：

　　思考4如果直线l经过抛物线y2=2px(p≠0)内部一个定点P(m,n)，且与抛物线相交于A (x1,y1)和B(x2,y2)两点。那么y1y2还是定值吗？

　　一个有趣的问题引发了我们一连串的思考，这一过程实际上是一道研究性问题的设计过程，也是研究能力不断提高的过程。

　　例题2大家知道，过圆上任意一点P，任意作相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过圆心（定点）。受此启发，引起我们一系列的思考： 对其他的二次曲线有这样的性质吗？先研究一下抛物线。

　　思考1过抛物线y2=4x的顶点O任作相互垂直的弦OA，OB，则弦AB是否经过一个定点？若经过定点（设为Q），请求出Q点的坐标，否则说明理由；

　　分析 设OA：y=kx，OB:y=-■x

　　由y=kxy■=4x得A(■，■)，同理B(4k2，-4k)

　　因此AB方程为y+4k=■(x-4k■)， 即y+4k=■(x-4k■)

　　令y=0得4k(■-k)=x-4k2，∴x=4  ∴直线AB必过定点Q(4,0)

　　思考2思考1中命题的逆命题成立吗？即如果直线经过（4，0）点，那么是否一定有OA⊥OB成立？（请读者自己完成）

　　思考3对于抛物线y2=2px上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。

　　分析：设点P(x0,y0)为y2=2px上一定点，则y0 2=2px0　1分

　　过P作互相垂直的弦PA，PB

　　设A (x1,y1)，B(x2,y2)，则y1 2=2px1，y2 2=2px2，

　　∴■·■=-1 ∴■·■=-1

　　化简得(y1+y0)(y2+y0)=-4p2即y1y2+y0(y1+y2)+y0 2+4p2=0（*）

　　假设AB过定点Q(a,b)，则有■=■

　　即■=■化简得y1y2-b(y1+y2)+2pa=0（**）

　　比较（*）、（**）得a=2p+x0，b=-y0

　　∴过定点Q(x0+2p,-y0)

　　思考4 对其他的二次曲线如椭圆、双曲线有这样的性质吗？

　　这时我们的思维不仅是在完成一道数学题目，而是在数学的海洋中任意遨游，探索着数学的奥秘，捕捉一个又一个有趣的数学问题,这是一个多么美妙的过程啊。

　　通过上面两个典型问题的分析可以发现，数学中研究性学习问题并不是凭空想出来的，而是通过对一些数学问题做深入的思考，形成一个系列化的思维链，而通常采用的思考方法是由特殊到一般、类比及对命题正反两方面的深入思考，从而构造出一系列的研究性学习问题，这就要求我们注重解题后的反思，养成良好的思维习惯 ，长期的努力才能促进研究性学习能力的提高。

　　长宁区教育学院 高级教师  沈子兴